Paradox dvojčiat

Všetko o fyzike a fyzikálnych (ne)zákonoch...
Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » Po 02. Máj, 2011, 09:26

Paradox dvojčiat je jeden z pozoruhodných dôsledkov ŠTR (špeciálna teória relativity). Máme dve dvojčatá Karola a Filipa. Karol ostane doma na Zemi a Filip si to zamieri rovno k nejakej hypotetickej planéte. Letí dajme-tomu rýchlosťou 0,98c voči Zemi. Vďaka dilatácií času ale Filipovi plynie čas vzhľadom k Zemi o dosť pomalšie ako Karolovi.
Je to jeden z dôsledkov ŠTR, ktorý si teraz trošku rozpíšeme. Vieme, že rýchlosť svetla je jediná invariantná rýchlosť vo vesmíre (invariant - nemenná veličina, zložka - rád používam tento názov, pretože sa všade vyskytuje a ja sa nemýlim potom)

Položme si teda otázku, ako to, že sa svetlo pohybuje rýchlosťou c bezohľadu nato, či sme my v pohybe alebo nie - či už sa hýbeme rýchlosťou 0,000000004c alebo 0,96c - rýchlosť svetla bude stále 1c. Rýchlosti sa nesčítavajú, tak čo sa teda deje ? Jedinou logickou odpoveďou je, že čas je relativný a že, aby svetlo ubehlo stále rovnakú vzdialenosť vzhľadom k pozorovateľovi, musí sa diať niečo iné - so zrastajúcou rýchlosťou nám dialtuje čas - spomaľuje sa. Takto si vlastne svetlo "pomáha" aby "ubehlo" stále rovnakú vzdialenosť bezhohľadu nato, ako veľmi sa snažíme :)

Teraz si už veru veľmi pekne vieme predstaviť a pochopiť, prečo náš Filip zostarol oveľa pomalšie akoby mal.

Vzorec na výpočet dilatácie času.
Obrázok
- kde delta(τ) je vlastný čas nameraný vo Filipovej vzťažnej sústave (v rakete)
- delta(t) je čas nameraný Karolom
- veličina v je rýchlosť rakety
- veličina c je invariant v=c, čiže rýchlosť svetla,
- v/c niekedy sa používa aj veličina bezrozmerná rýchlosť, ktorá nemá žiadny význam, okrem rovníc v ŠTR a OTR (aspoň ja onich zatiaľ neviem).

Bezrozmerná rýchlosť:
Obrázok

Toto je verzia paradoxu dvojčiat čisto v ŠTR - takže sú to len inerciálne sústavy, v skutočnosti by ale raketa bola neinerciálna sústava - pretože by musela postupne zrýchľovať, otočiť sa a zase zrýchľovať na rýchlosť 0,98c. A práve v tomto okamihu, keď sa loď otáča oproti smeru, kde išla predtým, prejde daný časový oakmžik. Dajme tomu Filipovi prejde v strede výpravy (pri otáčaní smerom speť k Zemi) 2 roky (od začiatku štartu na Zemi až po otáčku) a Karolovi prejde napr. 20 rokov plus 2 roky tam a speť. Karol osiveje o 24 rokov, Filip o cca 4 roky. Dúfam, že som to vysvetlil správne a ja ticho dúfam, že nie, budem mať radosť, ak ma niekto opraví. :)

Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » St 10. Aug, 2011, 19:30

Vie niekto lepšie vysvetliť ten obrat, v ktorom jeden z bratov zostarne ?

Užívateľov profilový obrázok
kramer
Používateľ
Používateľ
Príspevky: 1431
Dátum registrácie: Ne 07. Jan, 2007, 08:00
Bydlisko: Rožňava
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa kramer » Ne 14. Aug, 2011, 14:31

No tak co citam Hyperprostor od Michio Kaku tak tam som to pochopil tak ze ten brat co zostal na zemy zostarne o 20r a ten co letel len o 2r kedze sa cas pri rychlosti podobnej svetlu spomaluje, ale este som ju nedocital celu
CPU: AMD FX 8370 BE, MB: ASUS Sabertooth 990FX (AM3+), RAM: Crucial 8GB KIT DDR3 1600MHz CL8 Ballistix Tactical, PSU: Corsair TX650W, VGA: MSI R9 280 Gaming 3G, LCD: ACER ED 273, DISKY: 60GB SSDNow V300 Kingston, ADATA Ultimate SU650 SSD 240 GB, HDD 500GB WD5003AZEX 64MB, Seagate Momentus 5400.6 500GB
WOT - YouTube - Twitch

Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » Ne 14. Aug, 2011, 15:42

Ide tam práve o tú relatívnosť, kedy ak sa pohybuje dvojča vzhľadom k druhému, ktoré stojí na Zemi v=0.8c ale tým pádom sa aj Zem pohybuje vzhľadom k rakete tiež v=0.8c, takže starne aj to dvojča na Zemi. Starnú obaja. Tak potom prečo je dvojča, ktoré cestovalo predsa len mladšie ako to, ktoré ostalo na Zemi.

Odpoveď je celkom jednoduchá, ak zistíme, že raketa nebola celý čas v inerciálnom systéme, ale že, narozdiel od Zeme postupne zrýchľovala a spomalovala - princíp ekvivalencie hovorí, že gravitácia na Zemi je to isté ako zrýchľujúci systém, napr. loď, v ktorej stále máme zapnutý motor. Tým pádom to dvojča v rakete zostarne menej. Čas mu beží pomalšie, pretože sa už nepohybuje v rovnomernom priamočiarom pohybe ale vďaka zrýchleniu akoby bol vychýlený od najkratšej "ceste" časopriestorom. Takže sa to prejavuje tak, že čas sa spomaľuje vzhľadom k Zemi.

Gravitácia - to je len zakrivený časopriestor. Každé teleso má tendenciu, resp. takto sa vždy pohybuje rovnomerným pohybom po svetočiare naprieč priestorom. Stále rovno, aj naša matička zem okolo slnka, lentá dráha je zakrivená, preto sa otáčame okolo slnka po kruhovej, alebo elipsovitej (neviem presne akej) dráhe.

Veď si to môžeš vyskúšať aj doma. Na prúžok papiera, dlhého asi tak 15cm si nakresli priamku - najkratšia cesta časopriestorom medzi dvoma bodmi (nazvať to môžme aj úsečka). Teraz ale ohni papier napr. do kružnice. Ohla sa Ti aj tá priamka. Ona je priamkou stále, veď sa ohol samotný priestor, nie priamka!

Tak teraz už máš predstavu, čo je gravitácia. A vieš, prečo všetky veci, či už pierko alebo 1kg guľôčka dopadne stále v rovnaký čas na Zem (za predpokladu, ak sú súčasne pustené z rovnakej výšky samozrejme). Padajú stále po čo najkratšej možnej dráhe, tak ako úsečka, sa zakrivila dráha pierka a guľôčky a nezáleží na ich hmotnosti*. A čím je priestor viac zakrivený, pociťujeme večšie grav. zrýchlenie. V inej sústave, ktorá je spatá so Slnkom, je grav. zrýchlenie večšie - je tam viac zakrivený časopriestor, smerom od slnka gravitačná "sila"** slabne, jej gradient.


*(hmotnosť, to je energia a to pociťujeme až vtedy, ak s niečim interaguje, s inou hmotou, ale dokiaľ nedopadne na nejakú pevnú prekážku, môžme poznať len jej vnútornú energiu - kľudovú hmotnosť, tá sa nemení v čase, ak sa ale objekt pohybuje rýchlo, má večšiu kinetickú energiu = večšiu hmotnosť, v inej súradnicovej sústave sa ale ani nemusí pohybovať a má len kľudovú hmotnosť)

** ako sme zistili, žiadna sila v skutočnosti neexistuje, všetky objekty "plávajú" časopriestorom po čo najkratšej dráhe, aj svetlo. Prečo má svetlo stále konštantnú rýchlosť, ktorá nezávisí od zdroja svetla ani inej rýchlosti pozorovateľa ? Ako to, že sa všetci pozorovatelia, či ich je 2 alebo milión a každý sa pohybuje inými rýchlosťami (trebárs aj tesne pod c) vždy zhodnú na rovnakej, tej istej rýchlosti svetla ?

Zhodnú sa, pretože, pre každého pozorovateľa beží čas ináč!

Príklad - Svetlo vyšleme rýchlosťou 1c z nehybného bodu vzhľadom k terčíku, ktorý sa blíži smerom k nám rýchlosťou 0.5c. Terčík by mal zaznamenať rýchlosť svetla 1.5c. Ale zaznamenal len c. Kde sa stratilo zvyšných 0.5c ? Terčík sa vzhľadom k nám skracuje v smere k nám a jeho čas rozťahuje (spomaľuje) všetko tak elegantne, aby sa stále každý pozorovateľ zhodol na rovnakej rýchlosti konštantnosti svetla.

A teraz sme nato "kápli".

Každé teleso sa pohybuje v časopriestore po priestorovej zložke x y z a časovej t. Teleso, ktoré stojí vzhľadom k inému telesu má nulovú x y z zložku. Nepohybuje sa v priestore dopredu, doľava ani hore. Ale starne tak ako tak, takže sa pohybuje po časovej ose rýchlosťou t. Jemu beží čas vždy najrýchlejšie (pretože mi vlastne stojíme a hýbe sa všetko ostatné) vzhľadom k niekomu, kto sa pohybuje. Ak sa teraz ale začne pohybovať aj po x y z (stačí, že aj po x, proste po priestore) tak sa mu musí (tak to proste funguje) spomaľovať rýchlosť t, teraz sa jeho vlastný čas spomaľuje a čím rýchlejšie ide po x tým pomalšie mu ide t. A naopak.

Tu je pekný obrázok
Obrázok

Na obrázku vidieť, prečo je rýchlosť svetla rovnaká. Pohybuje sa v=c, čo znamená, že mu už nič neostalo pre časovú zložku, preňho čas zastal. Jemu sa zdajú všetky tie pre nás úžasné vzdialenosti nekonečne krátke. Dá sa povedať, že rýchlosť svetla je v určitom zmysle nekonečná. Nedá sa dosiahnuť pre hmotné objekty, je pre nás nekonečná či nedosiahnuteľná, to je jedno. Nám stačí vedieť, že vlastnosťou priestoročasu je, že limit rýchlosti ostal na c=300 000km/s.

Tak a teraz v skratke - u=0.8c + W=0.8c=0.9998c vždy pod c, svetlo muselo uraziť večšiu vzdialenosť od zdroja, ktorý sa pohyboval oproti nám, pretože sa skracoval čumák jeho auta, zvečšovala sa vzdialenosť, tú istú pravdu máme aj v tedy, ak povieme, že to svetlu trvalo dlhšie, kvôli spomalenosti času.

To je koniec, všetko som to vytiahol z hlavy, môžu tam byť chyby, hlavne v úvahách a slovných vyjadreniach. Takže niekto môže nájsť chybu a hlavne, aj ja sám sa môžem mýliť a niečo som možno zle pochopil aj ja a tým pádom tu môžu byť chyby. Snažil som sa ale opísať problém vlastnými slovami, hodenie linku do fóra ne nejaký iný zdroj nemá valný význam, ľudia sú lenivý už aj klikať :) a mňa to baví. Takže hurá na mňa s otázkami a kritikou. Robím to pre Vás :)

Užívateľov profilový obrázok
Broslowski
Moderátor
Moderátor
Príspevky: 10811
Dátum registrácie: Ut 24. Máj, 2005, 20:00
Bydlisko: Topoľčany (27)

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa Broslowski » Po 15. Aug, 2011, 23:43

hmotnost nie je energia ;)

Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » Ut 16. Aug, 2011, 07:27

Ale je :) Alebo máš zdroj na článok alebo niečo iné ? Dôkaz pre toto tvrdenie ?

Užívateľov profilový obrázok
Broslowski
Moderátor
Moderátor
Príspevky: 10811
Dátum registrácie: Ut 24. Máj, 2005, 20:00
Bydlisko: Topoľčany (27)

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa Broslowski » Ut 16. Aug, 2011, 10:22

pali napisal ze je, tak je :good:

EDIT RP: ironia sem, ironia tam, ked sa pozrieme na znamy vztah E = m*c^2 tak to vidime ;)

Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » Ut 16. Aug, 2011, 10:43

Broslowski napísal:
EDIT RP: ironia sem, ironia tam, ked sa pozrieme na znamy vztah E = m*c^2 tak to vidime ;)
Presne :-) a už ma aj napadla ďalšia téma, rozdiel medzi relativistickou "hmotnosťou", ktorú popisuje práve E = m*c^2 a kľudovou, ktorá ostáva invariantom E0 = m*c^2

Ale to už by bolo asi zbytočné pliesť ľudí stým, zatiaľ.

Užívateľov profilový obrázok
RP
Administrátor
Administrátor
Príspevky: 2572
Dátum registrácie: St 21. Mar, 2001, 20:00
Bydlisko: Kosice

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa RP » So 20. Aug, 2011, 11:48

Dajme si prakticke priklady :)

Sergei Krikalev bol vo vesmire 803.371 dni pricom sa pohyboval v priemere rychlostou 7.7 km/s voci povrchu Zeme. O kolko bol jeho cas sumarne pomalsi voci beznemu pozemstanovi?

Pre nazornost potom este napriklad.

Pilot Concordu lietal 30 rokov rychlostou 2 Mach povedzme 750 hodin rocne, kolko usetril on?

Rusnovodic TGV, 30 rokov, 1500 hodin rocne, rychlostou 300 km/h, kolko casu usetril on?

Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » So 20. Aug, 2011, 12:16

RP napísal:Dajme si prakticke priklady :)

Sergei Krikalev bol vo vesmire 803.371 dni pricom sa pohyboval v priemere rychlostou 7.7 km/s voci povrchu Zeme. O kolko bol jeho cas sumarne pomalsi voci beznemu pozemstanovi?
Tak mne to vyšlo 0,2544s ale niesom si istý, je tam veľa núl pre tak malé rýchlosti a používam windows kalkulačku.

Proste klasicky som to počítal: Δt=γ*t' - čo ty nato ? Máš nejaké "fígle" na tie veľké čísla ? Dá sa tam začleniť svetelný meter a sekunda ?

Užívateľov profilový obrázok
RP
Administrátor
Administrátor
Príspevky: 2572
Dátum registrácie: St 21. Mar, 2001, 20:00
Bydlisko: Kosice

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa RP » Ne 21. Aug, 2011, 06:22

Mne to pre Krikaleva vychadza (pri rychlom odhade, teda ak sa nemylim) na priblizne 0.02 sekundy, teda desatinu Tvojej hodnoty :)

Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » Ne 21. Aug, 2011, 08:21

No, som sa niekde pomýlil... škoda, že nikto iný sa nepridá.

Užívateľov profilový obrázok
16cmfan
VIP
VIP
Príspevky: 2425
Dátum registrácie: Ne 12. Júl, 2009, 09:31
Bydlisko: Bardejov
Kontaktovať užívateľa:

Re: Paradox dvojčiat

Príspevok od užívateľa 16cmfan » Po 22. Aug, 2011, 11:07

Dovolím si tu navrhnúť trošku iný príklad - o dvojičkách, ako inak :)

Vzdialenosť Proxima Centauri (ďalej len PC) je 4.2ly čož je 43×10^15m.
Jedna dvojička ostane doma, druhá si odletí na PC rýchlosťou 0.85c.
Pre zjednodušenie nepočítame zrýchľovanie, spomaľovanie atď. dajme tomu, že v momente štartu zrýchli z nuly na 0.85c, letí v=0.85c - otáča sa v=0c - zrýchli v=0.85c.

Takže úloha je jednoduchá - koľko ubehne bratovi v rakete a koľko bratovi na Zemi ?.

Napísať odpoveď

Návrat na "Fyzika, vážne a nevážne"